1) Докажите,что 4n+1+32n делится на 5 для любого натурального числа n.2) Докажите,что для любого натурального числа n справедливо равенство 1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n+1)(n+2)=n/(2n+4)
Здесь каждое слагаемое делится на 5: в первом слагаемоем есть множитель 4k+1 + 32k ¦ 5, т.к. при n=k мы предполагаем, что это верно, во втором слагаемом есть множитель 5.
Значит, при n=k+1 выражение 4(k+1)+1 + 32(k+1) ¦ 5.
Таким образом 4n+1+32n делится на 5 для любого натурального числа n.
2.
Ну этот номер легко решается и без метода математической индукции.
Можно заметить, что 1 / (1*2) = 1/1 - 1/2, 1 / (2*3) = 1/2 – 1/3.
Шаг индукции: n = k. Пусть 1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(k+1)(k+2)=k/(2k+4), тогда рассмотрим n=k+1 и докажем, что 1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(k+1)(k+2) + 1/(k+2)(k+3) =(k+1)/[2*(k+1)+4]
Вычтем из шага n=k+1 шаг n=k (из нижнего равенства верхнее). Тогда получим:
